Из Цикла лекций Ю.Л.Климонтовича (физ-фак МГУ): Введение в физику открытых систем.

Лекция 1.

1. 1. Немного истории

При рассмотрении основных идей и понятий нового научного направления естественно начать с краткого изложения истории вопроса. Возникновение Физики открытых систем было подготовлено трудами многих выдающихся исследователей девятнадцатого столетия. В их числе физик Людвиг Больцман, математик Анри Пуанкаре и Александр Ляпунов и, конечно, биолог Чарльз Дарвин. Людвиг Больцман назвал XIX столетие веком Дарвина. Он полагал тем самым, что теория эволюции Дарвина, основанная на на принципе естественного отбора, является наиболее значительным открытием прошлого века. Такой вывод может показаться неожиданным.

Действительно, XIX век очень богат великими открытиям в естествознании, в частности в физике. Ведь XIX век, это - век термодинамики, созданной в значительной мере трудами Сади Карно, Рудольфа Клаузиуса и Вильяма Томсона. Это век электромагнитной теории Майкла Фарадея и Джеймса Максвелла. В XIX были заложены и основы современной молекулярно-кинетической теории материи. Одним из ее основателей был сам Людвиг Больцман. Именно он предложил первое кинетическое уравнение для описания необратимых процессов в газах. Оно описывает, в частности, установление равновесного состояния в газе. Больцман ввел впервые и статическое определение энтропии. Он доказал и знаменитую "Н-теорему Больцмана ", согласно которой, в процессе установления равновесного состояния энтропия монотонно возрастает и остается постоянной при его достижении.

Наконец, именно Больцман понял, что в замкнутых системах энтропия может служить мерой относительной степени хаотичности. И все же именно Больцман определил XIX век как век Дарвина. Тем самым на первое место он поставил принцип биологической эволюции. Слово эволюция означает изменение, развитие в самых разных системах. В дальнейшем это понятие будет рассмотрено более детально на примерах эволюции физических и биологических систем. Почему все-таки Больцман считал основным достижением XIX столетия эволюционное учение Дарвина? Ведь во времена Больцмана не существовало каких-либо математических моделей биологической эволюции. Основным движущим фактором была уверенность Больцмана в том, что развитая им теория временной эволюции газа в замкнутой системе будет обобщена и на открытые системы. К числу последних относятся и все биологические объекты. Теория эволюции Дарвина и была, таким образом, первым шагом в теории эволюции открытых систем.

Больцман был одним из немногих в то время, кто понял важность этого "первого шага". Такую точку зрения в то время разделяли не многие. Да и сама теория Больцмана вызвала возражения у большинства ученых того времени. Вокруг теории Больцмана бушевали страсти. Среди его оппонентов был и величайший математик того времени Анри Пуанкаре. Он полностью отвергал теорию Больцмана. Для иллюстрации приведем небольшой отрывок из книги И.Пригожина "От существующего к возникающему": "Пуанкаре в одной из своих работ открыто не рекомендовал изучать труды Больцмана на том основании, что посылки в рассуждениях Больцмана противоречат его, Пуанкаре, выводам!". А.Пуанкаре, основываясь на обратимых уравнениях механики, пришел к выводу, что теория необратимых процессов и механика несовместимы. Основанием служило, в частности, то, что в механике нет функции, играющей роль энтропии.

Известно и другое высказывание А.Пуанкаре, приведенное в одной из статей И.Пригожина: "В этой связи забавно вспомнить слова Пуанкаре о том, что рекомендовать кому-либо прочитать работу Больцмана он не может, так как не может рекомендовать изучение доказательств, в которых выводы противоречат предпосылкам." Как разительно отличается от оценки А.Пуанкаре оценка работ Людвига Больцмана, данная представителем следующего поколения ученых, одним из основателей квантовой механики - Эрвиным Шредингером. На стр. 161. той же книги Пригожина читаем:"Его (Больцмана) направление мышления можно было бы назвать моей первой любовью. Никакие идеи не захватывали меня столь глубоко и вряд ли смогут захватить меня в будущем." Таким образом, уже на пороге XX столетия стало ясно, что развитие теории неравновесных процессов в физических и биологических системах является одной из важнейших задач естествознания. Оказалось, однако, что от понимания важности проблемы до ее даже далеко неполного решения потребовалось почти целое столетие.

Первым принципиальным шагом в этом направлении была развитая Альбертом Эйнштейном, Марианом Смолуховским и Полем Ланжевеном теория броуновского движения - хаотического движения малых, но все же макроскопических, частиц в жидкости. Таким образом, система броуновских частиц представляет собой пример открытой системы. В связи с последним сделаем одно очень существенное для дальнейшего замечание. В литературе бытует мнение, что Н-теорема Больцмана о возрастании энтропии справедлива лишь при условии замкнутости рассматриваемой системы. Такое утверждение не является, однако, достаточно точным. Действительно, следует различать замкнутость системы от окружающих тел - "внешнюю замкнутость" и " внутреннюю незамкнутость". Только внешняя замкнутость предполагается при доказательстве при доказательстве возрастания энтропии в процессе эволюции к равновесному состоянию. Это означает, что рассматриваемая система не обменивается с окружающими телами не веществом, ни энергией. При этих условиях энергия рассматриваемой системы частиц должна оставаться согласно механики неизменной.

Однако, Больцман не ставил себе задачу точного ( с точки зрения механики) описания движения частиц газа. Он прекрасно понимал, что такое решение невозможно. Ведь нет точного решения даже задачи трех тел. Одна из основных заслуг Больцмана в том, что он радикально изменил самц постановку задачи описания временной эволюции газа. Именно, вместо описания движения системы многих частиц он представил газ в виде сплошной среды, но не в обычном трехмерном, а в 6-мерном фазовом пространстве координат и импульсов. Как следствие этого он характеризует систему не заданием координат и импульсов частиц, а функцией распределения частиц в шестимерном пространстве координат и импульсов.

Предложенное для такой функции распределения уравнение - теперь это кинетическое уравнение Больцмана, и по сей день является одним из основных уравнений для описания неравновесных процессов в различных системах. Но ведь "точка" сплошной среды, хотя ее размер и считается пренебрежимо малым по сравнению с характерными масштабами рассматриваемых в кинетической теории процессов, содержит большое число частиц. Отсюда следует, что при переходе от уравнений для частиц системы к кинетическому уравнению сплошной среды теряется вся информация о движении частиц в пределах "точек" сплошной среды. По этой причине описание неравновесных процессов на уровне сплошной среды является, разумеется, приближенным. Это проявляется, в частности в том, что при описании, например, временной эволюции к равновесному состоянию при условии "внешней замкнутости" сохраняется не точное значение энергии, а лишь ее среднее значение Е. А это и означает, что описание временной эволюции проводится при условии "внутренней незамкнутости", так как при описании временной эволюции роль флуктуаций энергии во внимание не принимается.

Именно при таком условии внутренней незамкнутости и становится возможным доказательство теоремы Больцмана о возрастании энтропии в процессе эволюции к равновесному состоянию. Это обстоятельство будет в дальнейшем, в частности, при формулировке критерия относительной степени упорядочности состояний открытых систем, играть существенную роль. С учетом постоянства средней энергии удается переформулировать Н-теорему Больцмана с использованием функционала Ляпунова, который определяется разностью энтропий равновесного и неравновесного состояний. Это позволяет показать, что равновесное состояние соответствует не только максимуму энтропии, но и является устойчивым.

Вернемся к теории броуновского движения. Мы уже отметили, что система броуновских частиц не является и внешне замкнутой, так как происходит обмен энергией броуновских частиц с окружающей средой. По этой причине не удается ввести функционал Ляпунова, который определяется разностью энтропий, и Н-теорема для броуновского движения не может быть использована. Здесь на сцену выступает другой функционал Ляпунова, который определяется не разностью энтропий, а разностью свободных энергий. Это тоже очень важная характеристика, но все же, как мы увидим в дальнейшем, роль ее является существенно менее скромной по сравнению с "энтропийным" функционалом Ляпунова. Это обусловлено тем, что только энтропия обладает совокупностью свойств, позволяющих использовать энтропию в качестве меры неопределенности при статистическом описании.

Теория броуновского движения была развита в начале текущего столетия и сразу стала рабочим инструментом при рассмотрении многих физических явлений. Однако лишь по прошествии более полувека в статистической теории открытых систем были сделаны последующие принципиальные шаги, необходимые для использования теории броуновского движения в физике открытых систем. При этом были введены и использованы новые идеи, новые образы и понятия: самоорганизация, синергетика, физика открытых систем. Об этом и пойдет речь ниже. Здесь же отметим следующее. Большую роль в теории открытых систем играют работы А.М.Ляпунова - одного из создателей теории устойчивости движения, математика А.Н.Колмогорова, физиков Л.И. Мандельштама, А.А. Андронова, Н.С.Крылова, Я.Б.Зельдовича и многих других. К числу основоположников теории самоорганизации относится, несомненно, Владимир Иванович Вернадский - создатель учения о ноосфере (сфере разума). Приступим теперь к изложению основного материала. По мере продвижения вперед мы снова будем делать краткие экскурсы в историю.

1.2. Физика открытых систем. Диссипативные структуры. Синергетка.

Из названия следует, что речь пойдет об открытых системах, которые могут обмениваться с окружающими телами энергией, веществом и. что, не менее важно, информацией. Здесь будут рассматриваться макроскопические открытые системы. Они состоят из многих объектов, принимаемых за элементы структуры. Эти элементы могут быть микроскопическими, например, атомы или молекулы в физических и химических системах. Они, однако, могут быть малыми, но все же макроскопическими. Это, например, макромолекулы в полимерах, клетки в биологических структурах. Они могут быть и не малыми телами, например, "элементарные" объекты в социологии. Именно благодаря сложности открытых систем в них возможно образование различного рода структур, возможны процессы самоорганизации. При этом диссипация играет при образовании структур конструктивную роль. Это кажется, на первый взгляд, удивительным, так как понятие диссипации ассоциируется с затуханием различного рода движений, с рассеянием энергии, с потерей информации. Однако, и это чрезвычайно существенно, диссипация необходима для образования структур в открытых системах.

Чтобы подчеркнуть это обстоятельство Илья Пригожин - один из создателей теории самоорганизации, ввел термин "диссипативные структуры". Это чрезвычайно емкое и точное название объединяет все виды структур: временные, например, автоколебания в генераторе, пространственные, например, ячейки Бенара на поверхности жидкости и, наконец, наиболее общие пространственно-временные структуры. Примером последних могут служить автоволны на поверхности жидкости. Сложность открытых систем представляет широкие возможности для существования в них коллективных явлений.

С целью подчеркнуть роль коллектива, роль кооперации при образовании диссипативных структур, Герман Хакен ввел термин Синергетика. Это название происходит от греческого слова, означающего совместное или кооперативное действие. По-видимому, это термин был впервые введен, и именно в этом смысле, английским физиологом Шеррингтоном более ста лет тому назад в ходе исследований мышечных систем и управления ими со стороны спинного мозга. Синергетика не самостоятельная научная дисциплина, но новое междисциплинарное научное направление. Цель синергетики - выявление общих идей, общих методов и общих закономерностей в самых разных областях естествознания, а также социологии и даже лингвистики. Более того, в рамках синергетики происходит кооперирование различных специальных дисциплин. Из изложенного может сложиться впечатление, что столь важное для многочисленных приложений междисциплинарное научное направление теория самоорганизации - синергетика очень молодо. В большей мере это действительно так.

Однако, корни происхождения термина "самоорганизация" уходят в глубь веков. Это очень интересный вопрос. Отметим лишь следующее: В 1966 на русском языке была издана книга "Принципы самоорганизации". Это сборник докладов на Симпозиуме в университете Иллинойса (США) в 1961 г. Приведем выдержку из Предисловия редактора русского издания А.Е.Лернера: "Несмотря на огромную распространенность самоорганизующихся систем и настойчивые попытки ученых понять явления, происходящие в таких системах, самоорганизация остается на протяжении многих веков, пожалуй самым загадочным явлением, самой сокровенной тайной природы". Далее читаем: ": читатель не найдет в нем (в сборнике - Ю.К.) ни одной работы, которая претендовала бы на раскрытие тайн самоорганизации". Редактор американского издания Heinz von Foerter во Введении к книге, ссылаясь на рассказ знаменитого греческого философа Платона пишет: "В доме Агафона было положено начало бессмертному первому симпозиуму по проблемам, стоящим на стыке нескольких наук, в которых приняли участие философы, государственные деятели, драматурги, поэты, социологи, лингвисты, врачи и студенты различных специальностей". В докладе известного специалиста У.Р.Эшби имеется высказывание, что слово "самоорганизация" может также означать "переход от плохой организации к хорошей". Здесь, однако, не указывается как отличить "плохую" организацию от "хорошей". Так при анализе состояния по кардиограммам ( об этом будет рассказано в следующих лекциях) "переходу от плохого к хорошему" соответствует умение различать состояния "больного" и "здорового" организма.

Такое различие может быть выявлено, в частности, на основе рассмотренного ниже критерия относительной степени хаотичности состояний открытых систем. В последние годы теория самоорганизации и Синергетика испытали как бы новое рождение, но теперь уже на базе термодинамики и статистической физики. Мы увидим, в последующих лекциях, что сложившиеся в последнее время понимание термина "самоорганизация" означает процесс перехода от более хаотического состояния к более упорядоченному. Допускается, тем самым, возможность существования хаотического состояния, которое можно принять за начало отсчета степени упорядоченности. В многих случаях такая точка зрения вполне оправдана и мы рассмотрим ряд соответствующих примеров. Однако, в наиболее интересных и важных физических, а также и во всех биологических и социологических системах "точки отсчета", отвечающей наиболее хаотическому состоянию, реально не существует. На смену приходит новое понятие "норма хаотичности". При этом меняется и определение понятие самоорганизация. Термин Синергетика является во многих случаях очень удачным и стимулирующим. Однако, коллективные взаимодействия играют определяющую роль во многих случаях, не связанных с процессами самоорганизации. Это и побудило автора настоящих лекций ввести термин "физика открытых систем". После изложенного слова "открытые системы" не нуждаются в комментариях.

Слово же "Физика" в название предлагаемого курса лекций подчеркивает, что в основе теории любых открытых систем лежат фундаментальные физические законы. В заключении настоящего раздела стоит лишь отметить, в государственной программе "Университеты России" специализация "Физика открытых систем" вписана отдельной строкой.

1.3. Деградация и самоорганизация в процессах эволюции

Эволюция это процесс изменения, развития в природе и обществе. Такое понятие является очень общим. В физических замкнутых системах эволюция во времени приводит к равновесному состоянию. Ему отвечает, как показал впервые Больцман на примере разреженного газа, максимальная степень хаотичности. В открытых же системах можно выделить два класса эволюционных процессов. 1. Временная эволюция к неравновесному стационарному или равновесному состоянию; 2. Эволюция, через последовательность неравновесных стационарных состояний открытой системы.

Такие процессы происходят при медленном изменении так называемых управляющих параметров, о которых пойдет разговор в 6-ом разделе этой лекции. Здесь же лишь отметим разнообразие этих параметров. Так, например, управляющим служит параметр обратной связи в генераторе, накачка в лазере, число Рейнольдса при гидродинамических течениях, стрессовое воздействие на биологические системы. Во всех случаях изменения управляющих параметров может привести либо к деградации, либо представлять собой процесс самоорганизации, в ходе которого возможно образование все более сложных диссипативных структур. Тем самым, пока на интуитивном уровне, введены два новых понятия, которые определяют два возможных пути эволюции - деградацию и самоорганизацию. Ниже будет дано уточнение этих понятий на основе критерия относительной степени упорядоченности состояний системы в процессе ее эволюции. Здесь же лишь отметим, что физическим примером деградации может служить временная эволюция в замкнутой системе к равновесному состоянию. Действительно, ведь именно равновесное состояние, как будет показано ниже, является наиболее хаотичным.

Итак, самоорганизация лишь один из возможных путей эволюции. Для ответа на вопрос по какому пути будет развиваться процесс необходимо иметь критерии самоорганизации. Без такого рода критерия невозможно определить с каким процессом мы имеем дело. Таким образом, и теория эволюции Дарвина основанная на принципе естественного отбора, может привести либо к деградации, либо представлять собой процесс самоорганизации, в ходе которого возникают более сложные и более совершенные структуры. Самоорганизация не является, таким образом единственным результатом эволюции. Ни в физических, ни даже в биологических системах не заложено "внутреннее стремление" к самоорганизации. Повторяю. Самоорганизация лишь один из возможных путей эволюции.

Для ответа на вопрос по какому пути будет развиваться процесс необходимо иметь критерии самоорганизации. При этом отпадет необходимость общего определения таких фундаментальных понятий как деградация и самоорганизация. Такие определения очень трудны и, что существенно, не являются однозначными. Более важным является сравнительный анализ относительной степени упорядочности (или хаотичности) различных состояний рассматриваемой открытой системы. Только такой анализ может дать ответ на вопрос: является ли рассматриваемый в открытой системе процесс эволюции самоорганизацией или деградацией?

1.4. Что же такое хаос и порядок?

Мы уже неоднократно использовали понятия хаос и порядок. Как же отличить хаос от порядка? Можно привести примеры, когда такое отличие представляется очевидным. Однако, на примере сравнения ламинированных и турбулентных течений мы увидим, что кажущийся очевидным вывод о большей хаотичности турбулентного течения оказывается все же неправильным. Для получения более обоснованных ответов и нужны, как уже говорилось, количественные критерии относительной степени упорядоченности (или хаотичности) различных состояний открытых систем. Результаты такого анализа объективны и дают дополнительную информацию. Основная задача при этом состоит в установлении некоторой "нормы хаотичности", а также в установлении отклонений от нормы ( в ту или иную сторону) под влиянием тех или иных воздействий.

В биологии это могут быть различные стрессы, которые и вызывают отклонения степени хаотичности от нормы. При этом, как уже говорилось выше, отклонения и в ту и другую стороны могут означать "болезнь" и, следовательно, представлять собой процесс деградации. Таким образом, далеко не всегда констатация (по выбранному критерию) уменьшения степени хаотичности означает наличие самоорганизации и наоборот - увеличение степени хаотичности означает наличие деградации. Такие выводы правомерны только в тех физических системах, когда за начало отсчета степени хаотичности можно принять состояние теплового равновесия - равновесное состояние. В такой открытой системе, как, например, генератор электрических колебаний, равновесному состоянию - состоянию при нулевом значении параметра обратной связи, отвечают тепловые колебания в электрическом контуре. Поскольку нормальное функционирование организма возможно лишь при некоторой норме хаотичности, которая отвечает существенно неравновесному состоянию, то указанная выше точка отсчета для биологических систем не существует.

По этой причине в биологии, а также, конечно в экономике и социологии, объективная информация об изменении степени хаотичности еще не достаточна, что бы делать вывод о наличии процесса самоорганизации и ли деградации. Здесь возможна и полезна другая классификация. Если удается установить для данной системы норму хаотичности, то отклонения в обе стороны можно рассматривать как "болезнь" и , следовательно, как деградацию. Далее можно рассмотреть процесс самовыздоровления - выздоровления без внешнего вмешательства. Самовыздоровление приближает состояние открытой системы к норме. Имеет место, тем самым процесс самоорганизации. Но каковы же критерии относительной степени упорядоченности?

Трудности введения относительной степени упорядоченности (или, напротив, хаотичности) открытых систем связана, в первую очередь, с отсутствием четких определений самих исходных понятий: хаос, порядок. Определение этих понятий, как уже отмечалось, являются в большей мере условными. Понятия: хаос и порядок играли существенную роль уже в мировоззрении философов древности, в частности, представителей школы Платона. Не вдаваясь в детали, отметим лишь два сформулированных ими положения, которые сохраняют сие значение и по сей день. По представлениям Платона и его учеников хаос - состояние материи, которое остается по мере устранения возможностей проявления ее свойств.

С другой стороны, из хаоса возникает все, что составляет содержание мироздания, т.е. из хаоса может рождаться порядок. В физике понятие "хаос" и "хаотическое движение" является фундаментальными, но все же , недостаточно четко определенными. Действительно, согласно Больцману, наиболее хаотическим является движение в состоянии равновесия. В то же время в физике понятие "хаос" и "хаотическое движение" используется часто и для характеристики состояний далеких от равновесия. Хаотическим, однако, называют и движения далекие от равновесного. Это, например, неравновесные процессы в генераторах шума, предназначенных для подавления сигналов. Мы уже отмечали, что хаотическим называют и различного рода турбулентные движения в газах и в жидкостях.

Примером служит турбулентное движение в трубах. Оно возникает из ламинарного движения при достаточно большом перепаде давления на концах трубы. При этом, представление о турбулентном движении как более хаотичном, чем ламинарное, кажется само собой разумеющимся. Мы увидим, что такой вывод основан на смещении понятий сложности и хаотичности. При наблюдении турбулентного движения проявляется именно сложность движения. Вопрос же о степени хаотичности требует дополнительного анализа и для количественных оценок необходимы соответствующие критерии. В последние годы, стало широко использоваться понятие "динамический хаос" для характеристики сложных движений в сравнительно "простых" динамических системах. Слово "динамический" означает, что отсутствуют источники флуктуаций - источники беспорядка.

Поскольку источники флуктуаций присутствуют на всех уровнях описания процессов в макроскопически открытых системах, то понятия "динамический хаос", "динамическая система" отвечают определенной идеализации. Более реальное хаотическое движение с учетом и случайных источников можно назвать "физический хаос". Его частным примером является хаотическое движение атомов и молекул в состоянии равновесия. Отметим лишь, что неравновесные фазовые переходы гораздо разнообразней, чем равновесные. Они играют огромную роль не только в физических, но и в химических и биологических процессах. Все больше осознается роль неравновесных фазовых переходов и в социальных системах и в экономике. Лоренц (Метереолог Эдвард Лоренц. 1963) исследовал конвективное движение путем численного решения соответствующей математической модели. Какова же эта модель.

Конвективное движение в атмосфере описывается весьма сложными уравнениями газовой динамики. Для математического моделирования этого движения Лоренц использовал весьма упрощенную модель - систему трех обыкновенных, но нелинейных уравнений. Такого рода уравнения не имеют аналитических решений. Характер их решений может быть проведен лишь с помощью компьютеров. Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значениях градиента температуры поведение решения является настолько сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хаотические. Это и дало основание ввести новое понятие "динамический хаос".

Первое слово в названии подчеркивает, что речь идет о решении динамических уравнений при отсутствии случайных источников, которые могли бы вызывать хаотическое движение. Было также установлено, что малейшие изменения начальных условий радикально меняют характер движения. Тем самым движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия могут быть заданы с конечной точностью, то предсказание вида движения по заданным начальным условиям становится практически невозможным. Уравнения Лоренца представляют простейшую модель уравнений газовой динамики. Последние являются основой для описания поведения атмосферы с целью, например, предсказания погоды. При наличии же динамической неустойчивости движения в атмосфере задача долгосрочного прогноза погоды становится чрезвычайно трудной. Это является одной из причин частых ошибок в предсказании метеорологов. Формулировка одного из возможных критериев относительной степени упорядочности открытых систем будет рассмотрена ниже. На основе этого критерия и станет возможным при сложных движениях оличать порядок от хаоса и процесс самоорганизации от процесса деградации.

Информационный партнер Торговый Дом «Ошер», одним из направлений деятельности которого является продажа ювелирных изделий.

7.02.2010

Интересное по этой теме: